Cho cấp số cộng \(u_1,u_2,u_3,...,u_n\) có công sai d, các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số \(\dfrac{1}{u_1};\dfrac{1}{u_2};\dfrac{1}{u_3};...;\dfrac{1}{u_n}\) là một cấp số cộng?
Cho cấp số cộng \(u_1,u_2,u_3,...,u_n,...\) có công sai bằng 3. Biết dãy \(u_1,u_3,u_5,...,u_{2n+1}\) là cấp số cộng. Tính công sai của cấp số cộng đó?
Công sai của cấp số cộng đó là:
\(u_3-u_1=u_1+2d-u_1=2d=2\cdot3=6\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\), công sai d
a) So sánh các tổng sau: \({u_1} + {u_n};\,{u_2} + {u_{n - 1}};...;{u_n} + {u_1}\)
b) Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). So sánh \(n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\) với \(2{S_n}\)
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = {u_1} + d + \left( {n - 2} \right)d = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_n} + {u_1} = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array} \right\} \Rightarrow {u_1} + {u_n} = {u_2} + {u_{n - 1}} = ... = {u_n} + {u_1}\)
b) Dựa vào công thức vừa chứng minh ta có: \(n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\) = \(2{S_n}\)
1) cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=2048\) và \(q=\dfrac{5}{4}\) tính \(S_8=u_1+u_2+u_3...+u_8\)
2) cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=-3\) và \(q=\dfrac{1}{2}\) tính \(S_1=u_1+u_2+u_3...+u_9+u_{10}\)
Câu 1:
\(S_8=u_1+u_2+u_3+...+u_8\)
\(=\dfrac{u_1\left(1-q^8\right)}{1-q}=\dfrac{2048\cdot\left(1-\left(\dfrac{5}{4}\right)^8\right)}{1-\dfrac{5}{4}}\)
\(=\dfrac{325089}{8}\)
2: \(S_{10}=u_1+u_2+...+u_9+u_{10}\)
=>\(S_{10}=\dfrac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\dfrac{-3\cdot\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}\)
\(=-6\cdot\left(1-\dfrac{1}{2^{10}}\right)=-6+\dfrac{6}{2^{10}}=-\dfrac{3069}{512}\)
1) cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=2\) và \(u_7=-10\) công sai của cấp số cộng là
2) cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=1\) và d = 2 tổng \(S_{10}=u_1+u_2+u_3...+u_{10}\) bằng
3) cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=3\) và d = 2. Tổng của 2019 số hạng đầu bằng
4) cho cấp số cộng 2;5;8;11;14... công sai của cấp số cộng đã cho bằng
5) cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=2\) và d = 9 khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy
6) cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=3\) và d = 2
\(Bài.1:\\ u_7=u_1+6d\\ \Leftrightarrow-10=2+6d\\ \Rightarrow6d=-10-2=-12\\ Vậy:d=\dfrac{-12}{6}=-2\\ Bài.2:S_{10}=10.u_1+\dfrac{10.\left(10-1\right)}{2}.d=10.1+\dfrac{10.9}{2}.2=100\\ Bài.3:S_{2019}=2019.u_1+\dfrac{2019.\left(2019-1\right)}{2}.d\\ =2019.3+\dfrac{2019.2018}{2}.2=2019.2021=4080399\)
Bài 4:
\(d=u_2=u_1=5-2=3\)
Bài 5:
\(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\\ \Leftrightarrow2018=2+\left(n-1\right).9\\ \Leftrightarrow2+9n-9=2018\\ \Leftrightarrow9n=2018-2+9\\ \Leftrightarrow9n=2025\\ \Leftrightarrow n=\dfrac{2025}{9}=225\)
Vậy: 2018 là số hạng thứ 225 của dãy
Bài 6:
Đề chưa có yêu cầu
4: d=u2-u1=3
5: Đặt 2018=2+(n-1)*9
=>9(n-1)=2016
=>n-1=224
=>n=225
=>2018 là số thứ 225
3:
\(S_{2019}=2019\left(\dfrac{2\cdot3+2018\cdot2}{2}\right)=4080399\)
2:
\(S_{10}=\dfrac{10\cdot\left(2\cdot1+9\cdot2\right)}{2}=10\left(1+9\right)=100\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = \frac{1}{3}\,\,v\`a \,\,{u_1} + {u_2} + {u_3} = - 1\)
a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\)
b) Số \( - 67\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = - 1 \Leftrightarrow {u_1} + {u_1} + d + {u_1} + 2d = - 1\\ \Leftrightarrow 3{u_1} + 3d = - 1\\ \Leftrightarrow 3.\left( {\frac{1}{3}} \right) + 3d = - 1\\ \Leftrightarrow 3d = - 2\\ \Leftrightarrow d = - \frac{2}{3}\end{array}\)
Công thức tổng quát của số hạng \({u_n}\): \({u_n} = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right)\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} - 67 = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right).\left( { - \frac{2}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow n - 1 = 101\\ \Leftrightarrow n = 102\end{array}\)
- 67 là số hạng thứ 102 của cấp số cộng
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}7 = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right).\left( { - \frac{2}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow n - 1 = - 10\\ \Leftrightarrow n = - 9\end{array}\)
7 không là số hạng của cấp số cộng
1) cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(u_n=n^2-1\)
a) tính \(u_1,u_2,u_3,u_4\)
b) 99 là số hạng thứ mấy của dãy
2) cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(u_n=\dfrac{2n-1}{n+1}\)
a) tính \(u_1,u_2,u_3,u_4\)
b) \(\dfrac{13}{7}\) là số hạng thứ mấy của dãy
2:
a: \(u_1=\dfrac{2-1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)
\(u_2=\dfrac{2\cdot2-1}{2+1}=1\)
\(u_3=\dfrac{2\cdot3-1}{3+1}=\dfrac{5}{4}\)
\(u_4=\dfrac{2\cdot4-1}{4+1}=\dfrac{7}{5}\)
b: Đặt \(\dfrac{2n-1}{n+1}=\dfrac{13}{7}\)
=>7(2n-1)=13(n+1)
=>14n-7=13n+13
=>n=20
=>13/7 là số hạng thứ 20 trong dãy
1:
a: u1=1^2-1=0
u2=2^2-1=3
u3=3^2-1=8
u4=4^2-1=15
b: 99=n^2-1
=>n^2=100
mà n>=0
nên n=10
=>99 là số thứ 10 trong dãy
1) cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(u_n=n^2+1\)
a) tính \(u_1,u_2,u_3,u_4\)
b) 101 là số hạng thứ mấy của dãy
2) cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(u_n=\dfrac{n+1}{2n-1}\)
a) tính \(u_1,u_2,u_3,u_4\)
b) \(\dfrac{31}{59}\) là số hạng thứ mấy của dãy
1:
a:
u1=1^2+1=2
u2=2^2+1=5
u3=3^2+1=10
u4=4^2+1=17
b: Đặt 101=n^2+1
=>n^2=100
=>n=10
=>101 là số hạng thứ 10
2:
a: \(u1=\dfrac{1+1}{2-1}=2\)
\(u2=\dfrac{2+1}{2\cdot2-1}=\dfrac{3}{3}=1\)
\(u_3=\dfrac{3+1}{2\cdot3-1}=\dfrac{4}{5}\)
\(u_4=\dfrac{4+1}{2\cdot4-1}=\dfrac{5}{7}\)
b: Đặt \(\dfrac{n+1}{2n-1}=\dfrac{31}{59}\)
=>59(n+1)=31(2n-1)
=>62n-31=59n+59
=>3n=90
=>n=30
=>31/59 là số hạng thứ 30 trong dãy
1) cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=2048\) và \(q=\dfrac{5}{4}\) tính \(S_8=u_1+u_2+u_3...+u_8\)
2) cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=-1\\u_2=3\end{matrix}\right.\) tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân
1:
\(S_8=\dfrac{u_1\cdot\left(1-q^8\right)}{1-q}=\dfrac{2048\cdot\left(1-\left(\dfrac{5}{4}\right)^8\right)}{1-\dfrac{5}{4}}\)
\(=-8192\left(1-\left(\dfrac{5}{4}\right)^8\right)\)
2:
\(u2=u1\cdot q\)
=>\(q=\dfrac{3}{-1}=-3\)
\(S_{10}=\dfrac{u1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\dfrac{-1\cdot\left(1-\left(-3\right)^{10}\right)}{1-\left(-3\right)}\)
\(=\dfrac{-1}{4}\left(1-3^{10}\right)\)
1) cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=6\) và d = -2. Tính \(S_{99}=u_1+u_2+u_3...+u_{99}\)
2) cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=-2\) và d = 4. Tính \(S_{100}=u_1+u_2+u_3...+u_{99}+u_{100}\)
1: \(S_{99}=\dfrac{99\cdot\left[2\cdot6+98\cdot\left(-2\right)\right]}{2}=99\cdot\left(6-98\right)\)
=-9108
2: \(S_{100}=\dfrac{100\cdot\left(2\cdot\left(-2\right)+99\cdot4\right)}{2}=50\left(-4+99\cdot4\right)\)
=50*392
=19600